Logik kabur - Teori Set

Set kabur boleh dipertimbangkan sebagai pelanjutan dan oversimplification kasar set klasik. Ia dapat difahami dengan baik dalam konteks keanggotaan yang ditetapkan. Pada dasarnya ia membolehkan keanggotaan separa yang bermaksud bahawa ia mengandungi unsur-unsur yang mempunyai tahap keahlian yang berbeza-beza dalam set. Daripada ini, kita dapat memahami perbezaan antara set klasik dan set fuzzy. Set klasik mengandungi elemen yang memenuhi sifat keahlian yang tepat manakala set fuzzy mengandungi unsur-unsur yang memuaskan sifat-sifat keanggotaan yang tidak tepat.

Set Fuzzy dan Classical

Konsep Matematik

Set fuzzy $ \ widetilde {A} $ di alam semesta maklumat $ U $ boleh ditakrifkan sebagai satu set pasangan yang disusun dan ia boleh diwakili secara matematik sebagai -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Di sini $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = ijazah keanggotaan $ y $ dalam \ widetilde {A}, mengandaikan nilai dalam julat dari 0 hingga 1, iaitu $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Perwakilan set kabur

Marilah kita mempertimbangkan dua kes alam semesta maklumat dan fahami bagaimana satu set kabur boleh diwakili.

Kes 1

Apabila alam semesta maklumat $ U $ diskrit dan terhingga -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Kes 2

Apabila alam semesta maklumat $ U $ berterusan dan tak terhingga -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

Dalam perwakilan di atas, simbol penjumlahan mewakili pengumpulan setiap elemen.

Operasi pada Set Fuzzy

Mempunyai dua set fuzzy $ \ widetilde {A} $ dan $ \ widetilde {B} $, alam semesta maklumat $ U $ dan unsur 𝑦 alam semesta, hubungan berikut menyatakan operasi kesatuan, persimpangan dan pelengkap pada set kabur.

Kesatuan / Kabur 'ATAU'

Marilah kita perhatikan perwakilan berikut untuk memahami bagaimana hubungan Union / Fuzzy 'OR' berfungsi -

$$ \ mu _ {{widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {_ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde { quad \ forall y \ in U $$

Di sini ∨ mewakili operasi 'max'.

Kesatuan

Persimpangan / Fuzzy 'DAN'

Marilah kita pertimbangkan perwakilan berikut untuk memahami bagaimana perhubungan Persimpangan / Fuzzy 'AND' berfungsi -

$$ \ mu _ {{widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ quad \ forall y \ in U $$

Di sini ∧ mewakili operasi 'min'.

Persimpangan

Pelengkap / Kabur 'TIDAK'

Marilah kita perhatikan perwakilan berikut untuk memahami bagaimana hubungan kerja Complement / Fuzzy 'TIDAK' -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Pelengkap

Sifat-sifat Set Fuzzy

Marilah kita membincangkan sifat-sifat berbeza set fuzzy.

Harta Komutatif

Mempunyai dua set fuzzy $ \ widetilde {A} $ dan $ \ widetilde {B} $, hartanah ini menyatakan -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Harta Persatuan

Mempunyai tiga set fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ dan $ \ widetilde {C} $, hartanah ini menyatakan -

$ (widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (widetilde {B} {C}) $$

('widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (widetilde { C}) $$

Harta Distributif

Mempunyai tiga set fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ dan $ \ widetilde {C} $, hartanah ini menyatakan -

$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

(\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Harta Idempotency

Untuk mana-mana set kabur $ \ widetilde {A} $, harta ini menyatakan -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Harta Identiti

Untuk set fuzzy $ \ widetilde {A} $ dan set universal $ U $, hartanah ini menyatakan -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Harta Transit

Mempunyai tiga set fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ dan $ \ widetilde {C} $, hartanah ini menyatakan -

$$ Jika \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C}

Harta Involusi

Untuk mana-mana set kabur $ \ widetilde {A} $, harta ini menyatakan -

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Undang-undang De Morgan

Undang-undang ini memainkan peranan penting dalam membuktikan tautologi dan percanggahan. Undang-undang ini menyatakan -

$$ \ overline {{widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$