Logik kabur - Teori Set klasik

Satu set adalah kumpulan yang berbeza tanpa had. Ia boleh ditulis dengan jelas dengan menyenaraikan elemennya menggunakan pendakap set. Sekiranya susunan elemen diubah atau sebarang unsur yang ditetapkan diulang, ia tidak membuat apa-apa perubahan dalam set.

Contoh

  • Satu set semua integer positif.
  • Satu set semua planet dalam sistem suria.
  • Satu set semua negeri di India.
  • Satu set semua huruf kecil abjad.

Perwakilan Matematik Set

Set boleh diwakili dalam dua cara -

Borang Roster atau Tabular

Dalam borang ini, satu set diwakili dengan menyenaraikan semua elemen yang merangkumi. Unsur-unsur yang dilampirkan dalam kurungan dan dipisahkan oleh koma.

Berikut adalah contoh yang ditetapkan dalam Roster atau Borang Tabular -

  • Set aksara vokal dalam bahasa Inggeris, A = {a, e, i, o, u}
  • Set nombor ganjil kurang daripada 10, B = {1,3,5,7,9}

Tetapkan Notasi Builder

Dalam bentuk ini, set ditakrifkan dengan menyatakan satu sifat yang mempunyai elemen yang sama. Set adalah digambarkan sebagai A = {x: p (x)}

Contoh 1 - Set {a, e, i, o, u} ditulis sebagai

A = {x: x adalah vokal dalam abjad Inggeris}

Contoh 2 - Set {1,3,5,7,9} ditulis sebagai

B = {x: 1 ≤ x <10 dan (x% 2) ≠ 0}

Jika unsur x adalah ahli dari mana-mana set S, ia dilambangkan oleh x∈S dan jika suatu elemen y bukan ahli set S, ia dilambangkan oleh y∉S.

Contoh - Jika S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S tetapi 1.5 ∉ S

Cardinality of Set

Kardinaliti set S, dilabelkan oleh | S || S |, adalah bilangan unsur set. Nombor ini juga dirujuk sebagai nombor kardinal. Jika suatu set mempunyai bilangan elemen tak terhingga, kardinaliti adalah ∞∞.

Contoh - | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5, ...} | = ∞

Jika terdapat dua set X dan Y, | X | = | Y | menandakan dua set X dan Y mempunyai kardinaliti yang sama. Ia berlaku apabila bilangan elemen dalam X sama persis dengan bilangan unsur dalam Y. Dalam kes ini, terdapat fungsi bijak 'f' dari X ke Y.

| X | ≤ | Y | menandakan bahawa kardinaliti set X kurang daripada atau sama dengan menetapkan kardinaliti Y. Ia berlaku apabila bilangan elemen dalam X kurang daripada atau sama dengan Y. Di sini terdapat fungsi fungsi 'f' dari X ke Y.

| X | <| Y | menunjukkan kardinaliti set X adalah kurang daripada kardinaliti Y yang ditetapkan. Ia berlaku apabila bilangan elemen dalam X kurang dari Y. Di sini, fungsi 'f' dari X ke Y adalah fungsi inifikat tetapi tidak bijektif.

Jika | X | ≤ | Y | dan | X | ≤ | Y | kemudian | X | = | Y | . Set X dan Y biasanya dirujuk sebagai set bersamaan .

Jenis Set

Set boleh dikelaskan kepada banyak jenis; sebahagian daripadanya adalah terhingga, tak terhingga, subset, universal, tepat, set tunggal, dan lain-lain

Set selesai

Satu set yang mengandungi bilangan elemen yang pasti dipanggil set terhingga.

Contoh - S = {x | x ∈ N dan 70> x> 50}

Set Infinite

Satu set yang mengandungi bilangan tak terhingga unsur dipanggil tak terhingga set.

Contoh - S = {x | x ∈ N dan x> 10}

Subset

Set X ialah subset set Y (Ditulis sebagai X ⊆ Y) jika setiap elemen X adalah elemen set Y.

Contoh 1 - Katakanlah, X = {1,2,3,4,5,6} dan Y = {1,2}. Di sini tetapkan Y adalah subset set X kerana semua elemen set Y di set X. Oleh itu, kita boleh menulis Y⊆X.

Contoh 2 - Katakanlah, X = {1,2,3} dan Y = {1,2,3}. Di sini tetapkan Y adalah subset (bukan subset yang sepatutnya) dari set X kerana semua elemen set Y di set X. Oleh itu, kita boleh menulis Ysitx.

Subset yang betul

Istilah "subset yang betul" boleh ditakrifkan sebagai "subset tetapi tidak sama dengan". A Set X adalah subset yang betul dari set Y (Ditulis sebagai X ⊂ Y) jika setiap elemen X adalah elemen set Y dan | X | <| Y |.

Contoh - Let, X = {1,2,3,4,5,6} dan Y = {1,2}. Di sini tetapkan Y ⊂ X, kerana semua elemen dalam Y terdapat dalam X juga dan X mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen yang lebih daripada set Y.

Set Universal

Ia adalah koleksi semua elemen dalam konteks atau aplikasi tertentu. Semua set dalam konteks atau aplikasi itu pada dasarnya adalah subset set universal ini. Set universal diwakili sebagai U.

Contoh - Kita boleh menentukan U sebagai set semua haiwan di bumi. Dalam kes ini, satu set semua mamalia adalah subset U, satu set semua ikan adalah subset U, satu set semua serangga adalah subset U, dan sebagainya.

Set Kosong atau Set Tidak Null

Set kosong tidak mengandungi elemen. Ia dilambangkan oleh Φ. Oleh kerana bilangan elemen dalam set kosong adalah terhingga, set kosong adalah set terhingga. Kestabilan set kosong atau set null adalah sifar.

Contoh - S = {x | x ∈ N dan 7 <x <8} = Φ

Set Singleton atau Set Unit

Satu set Singleton atau set Unit mengandungi hanya satu elemen. Set tunggal yang dilambangkan oleh {s}.

Contoh - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Set yang sama

Jika dua set mengandungi elemen yang sama, mereka dikatakan sama.

Contoh - Jika A = {1,2,6} dan B = {6,1,2}, mereka adalah sama dengan setiap elemen dari set A adalah elemen set B dan setiap elemen dari set B adalah elemen set A .

Set Bersamaan

Sekiranya kardinaliti dua set sama, mereka dipanggil set setara.

Contoh - Jika A = {1,2,6} dan B = {16,17,22}, mereka bersamaan dengan kardinaliti A adalah sama dengan kardinaliti B. iaitu | A | = | B | = 3

Tetapkan Bertindih

Dua set yang mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen biasa disebut set tumpang tindih. Dalam kes set bertindih -

$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right)

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Contoh - Let, A = {1,2,6} dan B = {6,12,42}. Terdapat unsur biasa '6', oleh itu set-set ini adalah set bertindih.

Set Disjoint

Dua set A dan B dipanggil set bersama jika mereka tidak mempunyai satu elemen yang sama. Oleh itu, set bersama mempunyai ciri-ciri berikut -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Contoh - Let, A = {1,2,6} dan B = {7,9,14}, tidak ada satu elemen biasa, oleh itu set-set itu adalah set yang bertindih.

Operasi pada Set Klasik

Operasi Tetapkan termasuk Set Kesatuan, Set Persimpangan, Tetapkan Perbezaan, Pelengkap Set, dan Produk Cartesian.

Kesatuan

Kesatuan set A dan B (dilambangkan oleh A ∪ BA ∪ B) adalah kumpulan unsur yang berada dalam A, dalam B, atau dalam kedua-dua A dan B. Oleh itu, A ∪ B = {x | x ∈ A ATAU x ∈ B}.

Contoh - Jika A = {10,11,12,13} dan B = {13,14,15}, maka A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Unsur biasa berlaku sekali sahaja .

Operasi Kesatuan

Persimpangan

Persimpangan set A dan B (dilambangkan oleh A ∩ B) adalah kumpulan elemen yang berada dalam kedua-dua A dan B. Oleh itu, A ∩ B = {x | x ∈ A DAN x ∈ B}.

Operasi Persimpangan

Perbezaan / Kelebihan relatif

Perbezaan set set A dan B (dilambangkan oleh A-B) adalah kumpulan elemen yang hanya berada dalam A tetapi tidak dalam B. Oleh itu, A - B = {x | x ∈ A DAN x ∉ B}.

Contoh - Jika A = {10,11,12,13} dan B = {13,14,15}, maka (A - B) = {10,11,12} dan (B - A) = {14,15 }. Di sini, kita dapat melihat (A - B) ≠ (B - A)

Operasi Komplementari Relatif

Pelengkap Set

Pelengkap set A (dilambangkan oleh A ') adalah kumpulan elemen yang tidak ditetapkan A. Oleh itu, A' = {x | x ∉ A}.

Lebih khusus, A '= (U-A) di mana U adalah set universal yang mengandungi semua objek.

Contoh - Jika A = {x | x kepunyaan set integer tambah} maka A '= {y | y tidak tergolong dalam set integer ganjil}

Pelengkap Set

Produk Cartesian / Cross

Produk Cartesian nombor n set A1, A2, ... Yang dilambangkan sebagai A1 × A2 ... × An boleh didefinisikan sebagai semua pasangan yang boleh ditempah (x1, x2, ... xn) di mana x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ... xn ∈ An

Contoh - Jika kita mengambil dua set A = {a, b} dan B = {1,2},

Produk Cartesian A dan B ditulis sebagai - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Dan produk Cartesian B dan A ditulis sebagai - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Sifat-sifat Set Klasik

Hartanah di set memainkan peranan penting untuk mendapatkan penyelesaian. Berikut adalah ciri-ciri berbeza set klasik -

Harta Komutatif

Mempunyai dua set A dan B , hartanah ini menyatakan -

$$ A \ cup B = B \ cup A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Harta Persatuan

Mempunyai tiga set A , B dan C , hartanah ini menyatakan -

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Harta Distributif

Mempunyai tiga set A , B dan C , hartanah ini menyatakan -

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Harta Idempotency

Untuk mana-mana set A , hartanah ini menyatakan -

$$ A \ cup A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Harta Identiti

Untuk set A dan sejagat set X , harta ini menyatakan -

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ cup X = X $$

Harta Transit

Mempunyai tiga set A , B dan C , menyatakan harta -

Jika $ A \ subseteq B \ subseteq C $, maka $ A \ subseteq C $

Harta Involusi

Untuk mana-mana set A , hartanah ini menyatakan -

$$ \ overline {{overline {A}}} = A $$

Undang-undang De Morgan

Ia adalah undang-undang dan sokongan yang sangat penting dalam membuktikan tautologi dan percanggahan. Undang-undang ini menyatakan -

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$